Сложный процент – что это такое, как он рассчитывается и зачем сложные проценты вообще нужны

Давайте разбираться, что такое сложный процент и как он начисляется, например, на банковских вкладах.

Для инвестора сложный процент – это основной инструмент, который помогает максимально быстро приумножать доходы. Поэтому в сегодняшней статье я расскажу еще о том, что сделать, чтобы сложный процент вам стабильно начислялся и ваши капиталы постоянно росли.

Что такое сложный процент

Это «процент на процент». То есть когда на какую-то сумму начисляется процент, второй процент считается уже не от первой суммы, а от увеличенной. Проще всего это разобрать на примере.

Пример

Вы положили в банк миллион. Условия вклада: ежегодно начисляется 10 % на депозит, процент сложный.

Через год вы получите 10 % на свой миллион. То есть сто тысяч.

А еще через год 10 % уже будут считаться от увеличенной суммы, то есть от миллиона и ста тысяч. И получите вы 110 тысяч рублей, а не 100.

Если бы процент у вас был простым, то вы в первый год получили бы сто тысяч и во второй сто тысяч. Через два года ваш доход был бы на десять тысяч рублей меньше.

Как получать сложный процент

Для этого вы при инвестировании денег должны сделать две вещи.

Уточнить условия инвестиций

Надо выяснить, как рассчитываются проценты – по простой или по сложной схеме. Например, в банке проценты чаще всего сложные, на картах с процентом на остаток – тоже.

Если в условиях будет указано, что процент простой – сложным вы его никак не сделаете. Увы.

Реинвестировать доход

Чтобы сложный процент делал вас богаче и богаче, вы должны реинвестировать свои деньги, то есть повторно их вкладывать. Или просто не выводить.

На банковском вкладе происходят как бы автоматические реинвестиции. Вот вы получили за первый год сто тысяч на свой миллион, не вывели их – на следующий год получите уже не сто, а сто десять тысяч. Сложный процент тут работает без вашего участия.

А вот если вы вкладываетесь, например, в акции, то сложный процент можно получить только через самостоятельное реинвестирование. Например, вы вложили миллион, акционерное общество выплатило вам 50 000 рублей дивидендами. Теперь вам надо эти 50 000 самостоятельно вложить в новые акции. Иначе сложный процент не заработает.

Плюсы и минусы сложного процента

Его главный плюс в том, что деньги начинают приумножаться быстрее. Вы как бы наращиваете скорость своего обогащения, постоянно подпитываете инвестиционный портфель.

Минусов два. Первый – вы не получаете деньги на руки, не тратите их на себя. И не можете себя побаловать никакими плюшками.

Например, ваши друзья берут кредиты в банке и живут в квартирах с евроремонтом, покупают себе дорогие автомобили. А вы хотите достичь финансовой свободы, постоянно инвестируете и живете в маленькой старой квартире, пользуетесь подержанным авто. Не все люди могут психологически вот это вынести.

Второй минус. Если вы делаете рискованные инвестиции и не защищаете их, вы можете потерять свои деньги. Или на несколько лет уйти в минус. Например, из-за кризиса.

То есть до инвестиций жили бедно и после инвестиций жизнь лучше не стала.

Это очень серьезное испытание, далеко не все могут его выдержать.

Как защитить инвестиции со сложным процентом

Так же, как и обычные инвестиции. В первую очередь – грамотной диверсификацией. Прочитайте мою статью на эту тему, я там объясняю, как диверсифицировать инвестиционные капиталы правильно. Общие принципы такие: вкладывать в разные финансовые инструменты (акции, облигации, ETF), в компании разных экономических отраслей, в компании разных государств.

Вы даже можете использовать сложный процент одних инвестиций для других капиталовложений. Например, получили высокие проценты в акциях – купили облигации.

Скоро у меня выйдет статья про ребалансировку. Мы там более подробно поговорим, куда перенаправлять доходы от инвестиций, вам всё станет ясно.

Кроме диверсификации и ребалансировки вариантов защиты от риска нет.

Как связаны сложный процент и капитализация

В банковской сфере это абсолютно одно и то же. То есть «капитализация», «сложный процент» и «процент на процент» – это названия одного и того же вида расчетов.

Но вообще в экономике капитализация – более широкое понятие. Под ним не всегда подразумевается начисление процентов по какой-либо схеме. Это может быть нечто вообще другое, например, оценка стоимости активов компании.

Я постараюсь в ближайшее время написать статью про капитализацию, там мы с вами подробно ее разберем.

Что еще почитать и посмотреть

Если вы читаете эту статью, потому что интересуетесь инвестициями, я вам очень рекомендую вот эти материалы:

Статьи я стараюсь писать простым и человекопонятным языком. Чтобы люди без экономического образования легко могли их понимать.

Еще я вам рекомендую два курса. Первый – «Финансовая грамотность» от онлайн-университета Скиллбокс. Этот курс в целом про деньги – про банковские вклады, кредиты, ведение бюджета.

Там поднимается очень много жизненных вопросов, которые, как мне кажется, помогут вам избежать серьезных проблем. Например, преподаватели объясняют, что делать, если нечем платить ипотеку, на что смотреть при выборе банковского вклада и пр.

Второй – «Личные финансы и инвестиции» от Нетологии. Здесь уже тема более заточена под инвестиции. Вы узнаете обо всех финансовых инструментах, в которые можно вкладывать деньги, о том, как определять риск в инвестициях и контролировать его, как правильно делать диверсификацию капиталовложений.

Я смотрел оба этих курса. Они проводятся так: вы смотрите видеоролики, а потом проходите тесты. Преподаватели всегда на связи и готовы ответить на любые вопросы.

Еще один хороший плюс – с преподавателями можно не терять связь даже после окончания курсов. Если в случае с финансовой грамотностью это будет не так актуально, то вот в курсе по инвестициям обратная связь будет очень кстати, когда начнете реально вкладывать деньги.

Из бесплатных материалов могу порекомендовать вам записи вебинаров от банка АкБарс. Вот одна такая запись, можно ее смотреть прямо отсюда.

И последнее – три книжки по инвестированию от проекта Город Инвесторов. Я даю материалы именно этого ресурса, потому что я сам их читаю, и потому что там проходил платные курсы Василий Блинов, который создал этот сайт. Так что ресурс надежный, мы лично это знаем.

. Эта книга – о том, как применять советы знаменитого бизнес-тренера Роберта Кийосаки в России. Автор – практикующий инвестор. . В книге делается обзор реальных примеров инвестирования маленьких денежных сумм, начиная от тысячи рублей. Автор дает по каждому примеру развернутый комментарий. . О том, как разными способами усовершенствовать свое финансовое положение. Как начать путь к финансовой свободе и достичь ее в максимально короткие сроки.

Заключение

Уважаемые читатели, это была статья про сложный процент. Сумел ли я объяснить вам тему, понимаете ли вы теперь все преимущества сложных процентов перед обычными?

Дайте, пожалуйста, обратную связь по статье. Понравился ли вам материал, показался ли он вам сложным, были ли мои ссылки и рекомендации полезны?

Стоимость денег, типы процентов, дисконтирование и форвардные ставки. Ликбез для гика, ч.1

Представьте себе ситуацию – вы покупаете машину, и вам предлагают два варианта: заплатить с рассрочкой в несколько месяцев или погасить всю сумму сразу и с небольшой скидкой. Какой окажется выгоднее?

Или, например, вы хотите разместить вклад на год. Можно положить на весь срок под высокий процент или на отдельные короткие сроки под более низкий. Что лучше и насколько?

Все ответы под катом. И добро пожаловать в мир, где время — всегда деньги. До этого вы знали об этом, но теперь — в деталях и с примерами.

Меня зовут Мария Абрашкина, я математик и Product Owner в команде по расчету портфельных рисков. А также один из авторов видеокурса про финансовую математику (Ч.1 – Типы начисления процентов, Ч.2 – Дисконтирование, Ч.3 – Форвардные процентные ставки). В этом посте я расскажу о стоимости денег, процентных ставках и облигациях. Эти знания помогут вам в будущем принимать финансовые решения основываясь на точном расчете, используя простую математику.

#1. Временная стоимость денег. Типы начисления процентов

Сначала поговорим о том, что такое временная стоимость денег, или Time Value of Money (TVM), почему деньги имеют стоимость и какие виды процентов существуют.

На картинке ниже показан список фильмов с максимальными кассовыми сборами.

Можем ли мы их сравнить по этим цифрам? Учитывая, что фильмы выходили в разные годы, вряд ли такое сравнение будет правильным. Как быть?

Давайте рассмотрим более простой пример. Допустим, у вас есть тысяча рублей, и я у вас прошу эту сумму в долг. Сколько вы хотите, чтобы я вам отдала через год? Возможно, вы подумаете, что на эту тысячу рублей вы сейчас можете купить бутылку вкусного вина или что-то другое. Также вы можете предположить, что через год на ту же самую тысячу рублей вы вряд ли сможете купить этот товар по причине инфляции. Кроме того, существует риск, что деньги я не верну. Поэтому, скорее всего, вы захотите компенсацию за то, что вы пока не будете покупать бутылку вина или какую-нибудь другую вещь. Также вам необходим стимул, оправдывающий риск того, что деньги я вам могу и не вернуть. Вероятно, вы потребуете от меня вернуть деньги с какой-то надбавкой, то есть с процентом.

На языке математики это будет выглядеть так:

Сейчас вы мне даете тысячу рублей. Обозначим это как PV (Present Value) . Допустим ставка (r) равна 5%, и деньги вы даете мне сроком на один год. Тогда возвращая деньги FV (Future Value) , мне придется добавить к исходной сумме 50 рублей.

Если записать эту формулу в общем виде, то будущее значение равняется сумме долга, умноженной на единицу плюс процентная ставка.

А что, если начисление процентов происходит не раз в год, а чаще? Или что если проценты начисляются в течение двух, трех, десяти лет? В данном случае нам нужно всегда уточнять, каким образом происходит начисление процентов, в конце срока или с какой-то периодичностью и на сколько лет.

Простые проценты

Рассмотрим пример, когда проценты начисляются в конце срока вклада. Будущее значение будет равняться текущему значению плюс текущее значение, умноженное на годовую процентную ставку. Годовая процентная ставка будет прибавляться к сумме нашего вклада столько раз, на сколько лет мы сделали вклад.

Рассмотрим ситуацию с начислением за период в несколько лет. Считаем, что действующая процентная ставка на протяжении всего периода будет одинаковая. Тогда формула принимает следующий вид: текущее значение, умноженное на сумму единица плюс процентная ставка, затем еще раз на сумму единицы и процентной ставки и т. д. Умножать следует столько раз, на какое количество лет был сделан вклад. В общем виде формула будет выглядеть следующим образом:

Обратите внимание – если в первом случае к нашему вкладу каждый год прибавлялась сумма процентов (как в первом примере, где добавлялось к сумме вклада 50 рублей), то в случае с ежегодным начислением на 50 рублей, добавленные в первом периоде, у нас каждый раз начисляется процент.

Всегда важно обращать внимание на то, каким образом происходит начисление процентов. Проценты могут начисляться не только раз в год, но и раз в полгода, каждый день. И в принципе нам ничего не мешает начислять эти проценты непрерывно.

Непрерывное начисление процентов

Давайте рассмотрим, как будет выглядеть формула для начислений процентов чаще одного раза в год. В этом случае будущее значение будет равняться текущему значению, умноженному на сумму единица плюс годовая процентная ставка, деленная на количество периодов начислений в году (n) в степени nT . Если начисления производятся каждые полгода, то n=2 , если каждый день, то n=365 .

Как же будет выглядеть формула, если мы хотим начислять проценты непрерывно? Тут придется вспомнить школьную математику. Формула будет следующей:

Для того, чтобы привести наш предел к какому-то удобному виду, нам нужно сделать подстановку. В итоге мы получаем следующее:

С учетом того, что наш предел равен числу Эйлера (е=2,71), наша формула преобразуется в очень простое выражение. Текущее значение нашего вклада умножается на экспоненту, которая возводится в степень, представленную произведением процентной ставки и количества лет, на которые начисляются наши проценты.

Давайте сравним, как выглядят платежи в зависимости от периодичности начислений. В таблице представлено будущее значение вклада в сто тысяч рублей, который положен на десять лет по ставке двадцать процентов.

Если же начисления производятся непрерывно, то сумма вклада оказывается более 700 тысяч рублей против 300 тысяч рублей при простом начислении процентов.

На графике ниже наглядно показано, как растет итоговая сумма вкладов при разных способах начисления процентов.

Отсюда необходимо сделать вывод:

Поэтому, перед тем как сделать свой выбор, имеет смысл сделать небольшие вычисления, чтобы узнать итоговую сумму вклада при заданных условиях.

#2. Дисконтирование (помогает понять, что лучше: взять рассрочку или заплатить сейчас со скидкой)

Мы рассмотрели, какие бывают ставки и какие бывают способы начисления процентов. Если проценты выплачиваются в конце срока действия вклада, проценты называются простыми, если проценты выплачиваются с какой-то периодичностью, то такие проценты называются сложными.

Давайте решим обратную задачу. Допустим, мы знаем, сколько нам заплатят в будущем (например, нам кто-то пообещал платеж за какой-то продукт). Мы также знаем, какая сейчас процентная ставка. Как нам посчитать текущую цену этого продукта?

Как было сказано ранее, будущее значение суммы платежа будет равняться текущему значению, умноженному на единицу плюс процентная ставка. Если из этой формулы мы выразим текущее значение, то оно будет равняться будущему значению, деленному на единицу плюс процентная ставка.

Если проценты начисляются с какой-то периодичностью, то в общем виде формула выглядит так:

T – это количество периодов выплат начислений процентной ставки. Такой процесс деления будущего значения на единицу плюс процентная ставка в степени T называется дисконтированием. А множитель, единица деленная на сумму единицы плюс r в степени T , называется коэффициентом дисконтирования.

Давайте вернемся к задаче о том, какую премию лучше выбрать. В зависимости от способа премирования сумма выплат может отличаться. При этом не всегда очевидно, какой из способов предпочтительнее. Чтобы дать правильный ответ, необходимо решить математическую задачу. Предположим, у нас есть возможность взять в конце года 105 тысяч рублей при процентной ставке 5 процентов. Либо мы можем выбрать другой способ премирования, когда нам выплачивают по 50 тысяч рублей раз в полгода при той же процентной ставке.

Сравним эти два платежа. Для этого посчитаем, какое будет текущее значение для каждой из данных выплат. Воспользовавшись формулой для нахождения текущего значения, нам нужно продисконтировать 105 тысяч по ставке пять процентов (в данном случае T=1). Получаем 100 тысяч.

Чтобы найти текущее значение выплат через каждые полгода, мы должны 50 тысяч рублей (которые получим через полгода) продисконтировать по ставке два с половиной процента (потому что начисление происходит только в первые полгода. Строго говоря, ставка на 6 мес не равна половине годовой ставки. N(1+x)(1+x)=N(1+0.05) => x=2.4695% мы инвестируем на 6 мес, а потом опять на 6 и это идентично инвестиции на год), пять процентов годовых, деленные на два, плюс 50 тысяч полученные в конце года, которые мы дисконтируем по ставке 5 процентов. В результате подсчетов мы получаем цену первого платежа за полгода в размере 48780 рублей 49 копеек и второго платежа — 47619 рублей 5 копеек. Сумма ценностей составляет 96399 рублей 54 копеек.

В таком случае сравнение будет корректным.

#3. Форвардные процентные ставки

Допустим, мы с вами договоримся о процентной ставке. Под эту процентную ставку я через год возьму у вас деньги в долг, которые верну через два года плюс процент. Какова должна быть в данном случае процентная ставка, чтобы она была справедливой? Распишем этот пример подробнее.

Мы находимся сейчас в моменте времени «ноль». Через год я у вас по ставке x возьму деньги и верну их вам через два года. Как рассчитать ставку x ? У нас есть несколько опций. Вы можете сейчас положить деньги по ставке r ₁ на год, а затем реинвестировать их по ставке x .

Либо положить деньги сразу по ставке r ₂ на два года.

На финансовом рынке существует правило отсутствия арбитража (No-Arbitrage Condition). Оно говорит о том, что если в конце срока мы получаем одинаковые выплаты, то для инструментов с одинаковым риском начальная сумма должна быть тоже одинаковая. Давайте распишем и это. Будущее значение первого варианта инвестиции FV ₁ будет равняться текущему значению, умноженному на сумму единицы и rT ₁ (будем считать, что у нас простое начисление процентов).

Момент времени T ₁ у нас равняется одному году. Дальше у нас произойдет реинвестирование суммы, и мы положим на промежуток времени от T ₂— T ₁, умноженную на нашу процентную ставку x . T ₂ – это момент времени, в нашем случае два года.

Либо будущее значение FV ₂ будет равняться текущему значению PV , умноженному на единица плюс r ₂, умноженное на T ₂. Согласно условию отсутствия арбитража FV ₁ должно равняться FV ₂.

Из этого мы получаем следующее:

Формула получилась достаточно громоздкая. Давайте рассчитаем по этой формуле пример, а затем подумаем, что мы можем сделать, чтобы она выглядела проще.

Пусть процентные ставки у нас r ₁=4%; r ₂=6%. В таком случае имеем следующее:

Казалось бы странно, что ставка на два года равняется шести процентам, на год она равняется четырем процентам, а от года до двух мы получаем ставку более семи процентов. Объясняется это так. Поскольку в первый год у нас годовая ставка ниже чем на два года, в следующий год она должна быть выше, чем обе этих ставки. Это необходимо для того, чтобы компенсировать недостаток начисления процентов в первом году, и после реинвестирования можно было бы получить такую же сумму, как при инвестировании на два года по более высокой ставке. Такая ставка называется форвардной процентной ставкой.

Чтобы облегчить себе жизнь, давайте упростим эту формулу. Если мы будем использовать формулу непрерывного начисления процентов ( FV=PVe rT ), то тогда мы можем переписать условие отсутствия арбитража следующим образом:

Если мы возьмем логарифм от обеих сторон нашего равенства и сократим константы, мы получим:

Далее легко найти x:

Согласитесь, такую формулу для будущих процентных ставок использовать гораздо проще и удобнее.

Вы можете задать вопрос – а зачем такой странный продукт и кто им пользуется?

Представьте себе ситуацию, когда у вас или у вашей компании точно будет поступление средств через год. Сейчас вы бы хотели обезопасить себя от риска изменения процентных ставок. Вы понимаете, что через год процентная ставка может увеличиться и стать более выгодной, но также вы понимаете, что она может понизиться. И вам вполне комфортно с действующей на рынке форвардной процентной ставкой. Тогда вы можете заключить контракт, указав в нем, что на те деньги которые поступят в будущем через год, вы заключаете договор по заданной ставке. Ставка фиксируется, и вы больше не переживаете о том, как будут происходить изменения процентных ставок на рынке.

Обратите внимание, что форвардная процентная ставка ни в коем случае не является предсказанием будущей цены. Это абсолютно не значит, что процентные ставки будут равны 7,7% через год, когда мы окажемся в точке T₁. Они могут принимать какое угодно значение, и вот почему. В момент, когда мы рассчитываем форвардную процентную ставку из ставок, действующих на рынке, мы можем сказать, что эта ставка является ожиданием рынка относительно будущих цен. Но к моменту, когда мы перемещаемся в будущее, происходят новые события, добавляется новая информация, и рынок каким-то образом меняется. Поэтому процентные ставки через год не будут совпадать с форвардными ставками, рассчитанными на год сейчас.

Источник https://vsvoemdome.ru/finansy/investicii/chto-takoe-slozhnyj-procent

Источник https://habr.com/ru/company/dbtc/blog/501566/

Источник

Источник